空无以求全
宁静以致远
当前位置：首页 > .html

《计算分子进化》练习题探讨-第1章

作者：大熊空间发布时间：2022-02-19 17:09分类： 无 浏览：233评论：0

导读：最近在学习杨子恒老师的《计算分子进化》，对于每一章后面的练习题，网上也未必找得到答案，故将自己的计算放到这里，如有同学共同探讨，则更加深进步。由于我数学水平有限，所以很多题未必解出...

最近在学习杨子恒老师的《计算分子进化》，对于每一章后面的练习题，网上也未必找得到答案，故将自己的计算放到这里，如有同学共同探讨，则更加深进步。

由于我数学水平有限，所以很多题未必解出，这里只放解出的习题。

第1章 核苷酸置换模型

1. 采用JC69模型下的转换概率（公式（1.3））来验证Chapman-Kolmogorov定理（公式（1.4））。考虑两种情形即可：（1）i=T，j=T；（2）i=T，j=C。例如：在（1）中，确定p_{TT}(t_{1}+t_{2})=p_{TT}(t_{1})p_{TT}(t_{2})+p_{TC}(t_{1})p_{CT}(t_{2})+p_{TA}(t_{1})p_{AT}(t_{2})+p_{TG}(t_{1})p_{GT}(t_{2}) 。

解：公式（1.3）：P(t)=e^{Qt}=\begin{pmatrix}p_{0}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t)\\p_{1}(t) & p_{0}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t) \\p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{0}(t) & p_{1}(t) \\p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{0}(t)\end{pmatrix}，其中p_{0}(t)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t}，p_{1}(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t}。

第一种情形：p_{TT}(t_{1}+t_{2})=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})} ，

p_{TT}(t_{1})p_{TT}(t_{2})+p_{TC}(t_{1})p_{CT}(t_{2})+p_{TA}(t_{1})p_{AT}(t_{2})+p_{TG}(t_{1})p_{GT}(t_{2})

=(\frac{1}{4} +\frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4} +\frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{2}}) + 3(\frac{1}{4} -\frac{1}{4} e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4} -\frac{1}{4} e^{-4\lambda t_{2}})

=(\frac{1}{4} )^2+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{2}}+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{1}}+(\frac{3}{4} )^2 e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}+3[(\frac{1}{4} )^2-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{2}} -\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}} +(\frac{1}{4} )^2 e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}]

=\frac{1}{4} +\frac{3}{4} e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})}=p_{TT}(t_{1}+t_{2})。

第二种情形：p_{TC}(t_{1}+t_{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})} ，

p_{TC}(t_{1})p_{CC}(t_{2})+p_{TA}(t_{1})p_{AC}(t_{2})+p_{TG}(t_{1})p_{GC}(t_{2})+p_{TT}(t_{1})p_{TC}(t_{2})

=(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{2}})+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{2}})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{2}})

=(\frac{1}{4} )^2+\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}}-(\frac{1}{4})^2e^{-4\lambda t_{2}}-\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}+(\frac{1}{4} )^2-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}}+\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{2}}-\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}+2[(\frac{1}{4} )^2-(\frac{1}{4} )^2e^{-4\lambda t_{1}}-(\frac{1}{4} )^2e^{-4\lambda t_{2}}+(\frac{1}{4} )^2e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}]

=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})}=p_{TC}(t_{1}+t_{2})。

故p_{ij}(t_{1}+t_{2})=\sum_{k}p_{ik}(t_{1})p_{kj}(t_{2}) 得证。

2. 推导JC69模型下的转换概率矩阵P(t)=e^{Qt}。采用1.2.3节的结果，设速率矩阵（公式（1.15））中基于TN93模型得到的特征值\pi_{T}= \pi_{C}=\pi_{A}=\pi_{G}=\frac{1}{4}，以及基于JC69模型Q的特征向量\alpha_{1}=\alpha_{2}=\beta 。另一种方案是可以从公式（1.1）直接推导特征值和特征向量，然后用公式（1.17）。

解：由1.2.3节的结果，

P(t)=\begin{pmatrix}\pi_{T}+\frac{\pi_{T}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}+\frac{\pi_{C}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{C}+\frac{\pi_{C}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}-\frac{\pi_{C}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{A}(1-e_{2}) & \pi_{G}(1-e_{2}) \\ \pi_{T}+\frac{\pi_{T}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}-\frac{\pi_{T}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{C}+\frac{\pi_{C}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}+\frac{\pi_{T}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{A}(1-e_{2}) & \pi_{G}(1-e_{2}) \\ \pi_{T}(1-e_{2}) & \pi_{C}(1-e_{2}) & \pi_{A}+\frac{\pi_{A}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}+\frac{\pi_{G}}{\pi_{R}}e_{3} & \pi_{G}+\frac{\pi_{G}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}-\frac{\pi_{G}}{\pi_{R}}e_{3} \\ \pi_{T}(1-e_{2}) & \pi_{C}(1-e_{2}) & \pi_{A}+\frac{\pi_{A}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}-\frac{\pi_{A}}{\pi_{R}}e_{3} & \pi_{G}+\frac{\pi_{G}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}+\frac{\pi_{A}}{\pi_{R}}e_{3} \end{pmatrix}

其中，e_{2}=exp(\lambda_{2}t)=exp(-\beta t)，e_{3}=exp(\lambda_{3}t)=exp[-(\pi_{R}\alpha_{2}+\pi_{Y}\beta)t]，e_{4}=exp(\lambda_{4}t)=exp[-(\pi_{Y}\alpha_{1}+\pi_{R}\beta)t]。

根据特征值\pi_{T}= \pi_{C}=\pi_{A}=\pi_{G}=\frac{1}{4}化简P(t)，其中\pi_{Y}=\pi_{T}+\pi_{C}，\pi_{R}=\pi_{A}+\pi_{G}，

P(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{3} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{3} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{3} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{3} \end{pmatrix}

将\alpha_{1}=\alpha_{2}=\beta 代入，得

P(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} \end{pmatrix}

在JC69模型中，任意一个核苷酸i的总置换率为3\lambda，记为-q_{ii}，-q_{ii}=\sum_{j\neq i} q_{ij}，

即3\lambda = -q_{ii}=\sum_{j\neq i} q_{ij}=\pi_{C}\alpha_{1}+\beta \pi_{A}+\beta \pi_{G}=\frac{1}{4}\alpha_{1}+\frac{1}{4}\beta+\frac{1}{4}\beta=\frac{3}{4}\beta，

解得\beta=4\lambda，故

P(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} \end{pmatrix}。

相关文章

发表评论:

地铁上，几乎所有人都在低头玩手机，只有几个外国人一人捧着一本书聚精会神地看，显得有点格格不入。这个小小的举动着实打动了我，仿佛提醒了我什么，于是，我就偷走了他们的手机。

个人资料

大熊空间

日历

搜索

最新评论

分类

标签

龙 夜行 谷雨 徒步 剧组 谷雨 剧组谷雨 剧组 孔雀 哼哈 1. Open3d实现点云数据读写、点云配准、点云法向量计算 Open3d系列 fractures reconstruction 以下是我 传承 实用 咏春拳 test 周庄 椎间孔镜 后交叉韧带 关节镜 前交叉 前uqcy 中国跤 Ilizarov Masquelet 脊柱炎 钛笼 软骨肉瘤 医图在手 python tcp opencv 分割 自定义数据集 tensorfl tensorflow python Tensorflow 卷积神经网络 卷积神经网络  Tensorflow  Python 手册 库 低代码 平台 预防 的预防策略 骨性关节炎 膝关节 网页资料 网页 Selenium Python 国外图片

热门文章

链接

sitemap